El aporte de las matemáticas puras a la física, el caso de la Relatividad y el concepto de espacio-tiempo.

 Las matemáticas nacen ligas a resolver problemas concretos del mundo real

Las matemáticas surgieron para resolver problemas concretos de las sociedades donde se crearon. Los egipcios desarrollaron ampliamente la geometría dada la necesidad práctica de medir y redistribuir tierras después de las inundaciones del río Nilo. También aplicaron conceptos geométricos en la construcción de monumentos y en la arquitectura.  Los sumerios por su parte desarrollaron ampliamente las matemáticas como una respuesta a las necesidades prácticas de la vida diaria, como la agricultura, el comercio y la construcción. Esto por citar dos civilizaciones antiguas.

Conectar las matemáticas con algo real y concreto de nuestro mundo físico condicionó el desarrollo de las matemáticas por mucho tiempo; las matemáticas debían responder de alguna manera a la realidad. Sin embargo, esta camisa de fuerza limitó en algunas oportunidades el desarrollo de las matemáticas.

Los griegos desarrollaron ampliamente la geometría basados fundamentalmente en los conocimientos prácticos adquiridos durante generaciones por los egipcios. Tomaron esos conocimientos prácticos y los unieron a sus desarrollos en Lógica formal para desarrollar una teoría abstracta que hoy llamamos geometría euclidiana.

Retrato artístico de Euclides (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Fuente: https://pixabay.com/es/vectors/euclides-retrato-l%C3%ADnea-arte-6471764/

Un ejemplo relacionar las matemáticas a algo concreto puede desarrollar, pero también limitarnos está en las ecuaciones. En un principio las ecuaciones eran vistas como problemas geométricos. Por ejemplo, el término $x^2$ era interpretado como el área de un cuadrado cuyo lado era $x$; el término $10x$, sería el área de un rectángulo cuyos lados son $x$ y $10$, entre otros. Y por lo tanto, una ecuación se podía traducir a un problema geométrico. Sin embargo, debido precisamente a se descartaron las soluciones negativas, ya que los lados de una figura geométrica no tiene sentido que sea un número negativo y por mucho tiempo los negativos no eran considerados números. Una situación similar ocurrió con los números imaginarios. Una pequeña aclaración antes de seguir: cuando hablamos de áreas y longitudes del mundo real es necesario utilizar una unidad de medida, entonces el lado de un rectángulo medirá 10 cm o bien 10 m, acá vamos a omitir las unidades por dos razones, en primer lugar para que la notación sea más simple, vamos a suponer que se estará usando alguna unidad apropiada y en segundo lugar porque el concepto de área se puede abstraer y podríamos estar hablando de un área generalizada. Para ilustrar mejor lo que se acaba de argumentar hagamos un ejemplo.

Resolvamos una ecuación de segundo grado con geometría 

La notación simbólica del álgebra se empezó a desarrollar en el siglo XVI, antes de eso las ecuaciones algebraicas se escribían en prosa; por ejemplo, la ecuación $x^2+10x=39$ se presentaría de una forma similar a lo siguiente: el área de un cuadrado de lado desconocido sumada al área de un rectángulo con un lado igual al lado del cuadrado y el otro lado igual a 10, es igual a un área de 39.

Resolvamos geométricamente la ecuación $x^2+10x=39$: interpretemos el lado izquierdo de la ecuación de forma geométrica así, el termino $x^2$ será el área de un cuadrado de lado $x$ y el término $10x$ el área de un rectángulo de lados $x$ y $10$, veamos el siguiente dibujo para ilustrarlo mejor.

Ahora el rectángulo naranja lo podemos dividir en dos rectángulos, cuyas bases sean $5$ cada uno

Ahora vamos a unir el cuadrado azul con los dos cuadrados naranja y nos quedará así:

Como se puede observar nos queda un cuadrado incompleto de lado $x+5$, podemos completar ese cuadrado (de aquí viene el nombre de la técnica de completar cuadrados), lo que nos hace falta es un cuadrado de lado $5$, cuya área sería $25$, pero para no alterar la igualdad si le sumamos 25 al lado izquierdo de la ecuación también se lo tenemos que sumar al lado derecho y nos quedaría $39+25=64$ y $64$ es el área de un cuadrado de lado $8$, entonces:

 

Si dos cuadrados son iguales deben tener lados iguales, por lo tanto, $x=3$.

Esta ecuación tiene una segunda solución y es $x=-13$, pero esta solución era rechazada porque no tiene sentido que los lados de un cuadrado sean negativos.

Podemos notar que esta forma de pensar en el problema nos permite por un lado usar las herramientas de la geometría para encontrar una solución, pero por otro lado nos limita al no permitirnos interpretar la solución negativa como posible. 

El surgimiento de las matemáticas puras

En el siglo XIX, se produjo una expansión significativa de las matemáticas, y durante este tiempo, surgieron diferentes enfoques y filosofías en la comunidad matemática.

A finales del siglo XIX y principios del siglo XX, se produjo una mayor especialización y formalización en las matemáticas puras y aplicadas. Los matemáticos "puristas" buscaban desarrollar teorías abstractas y estructuras fundamentales, mientras que los matemáticos aplicados se centraban en resolver problemas prácticos del mundo real utilizando herramientas matemáticas.

Para finales del siglo XIX y principios del XX encontramos personas que se dedican a hacer matemáticas que no debe responder a nada de la realidad, a estos es a los que llamamos matemáticos puros. Una profesión muy común en la actualidad donde tenemos matemáticos que no estudian nada relacionado con física, por ejemplo, en su carrera y sus conocimientos de física perfectamente podrían limitarse a los de la escuela secundaria, algo que sería completamente impensable en el siglo XVIII.

Muchos científicos veían y aún hoy día ven los desarrollos en matemática pura como algo que tiene poco impacto en las ciencias o la ingeniería; sin embargo la separación entre matemáticas puras y aplicadas es, en muchos aspectos, una simplificación, ya que en la práctica, las dos áreas están interconectadas y se influyen mutuamente a nivel macro. Muchos matemáticos trabajan en ambos campos y encuentran aplicaciones prácticas para teorías abstractas, y viceversa. Muchas teorías sumamente abstractas de las matemáticas llegan a resolver problemas de la física o de la ingeniería sumamente concretos y acaban teniendo una aplicación práctica muy cotidiana y muchos problemas que físicos e ingenieros no podemos resolver terminan motivando el desarrollo de un área de las matemáticas.

Pero, también existen matemáticos que desarrollan toda una carrera sumamente exitosa sin estar nunca involucrados en problemas aplicados y muchos físicos e ingenieros que desarrollan carreras muy exitosas sin nunca estar en contacto con las herramientas abstractas de las matemáticas puras.

El caso de la relatividad y el concepto de espacio-tiempo.

En el año de 1905 Albert Einstein desarrolla los fundamentos de lo que más tarde se llegaría a conocer como la Teoría Especial de la Relatividad, fundamenta su teoría en dos postulados relativamente simples aunque con profundas implicaciones. Einstein plantea que la velocidad de la luz en el vacío es una constante absoluta, tendrá el mismo valor para todos los observadores inerciales (un tipo especial de observador muy utilizado ya en la física newtoniana) y en segundo lugar plantea que las leyes de la física serán las mismas para todos los observadores inerciales.

A partir de estos dos postulados Einstein fundamenta toda la relatividad especial; el tratamiento matemático que hace es fundamentalmente algebraico (ecuaciones algebraicas).

En 1907, Hermann Minkowski, un matemático alemán de origen lituano, se percató que la teoría especial de la relatividad presentada por Einstein en 1905 y que tenía como antecedentes trabajos  de Lorentz y Poincaré podía entenderse mejor con una formulación geométrica, utilizando una geometría no-euclideana sobre un espacio cuadridimensional e introduce el concepto de espacio-tiempo. El desarrollo de Minkowski es matemáticamente riguroso y utilizó matemáticas que no eran comunes para un físico en ese momento, de hecho Paul Arthur Schilpp, en su libro Albert Einstein philosopher-scientist ("Albert Einstein filósofo-científico"), cuenta que Einstein dijo: "Dado que los matemáticos han invadido la teoría de la relatividad, no la entiendo más". Einstein no le gustó esa interpretación de Minkowski, pues la veía como algo muy abstracto e irrelevante para entender su propuesta.

Poco tardaría Einstein en darse cuenta de su error, pues al intentar construir una teoría general de la relatividad se dio cuenta de la importancia fundamental del concepto de espacio-tiempo y de lo fundamental que era la interpretación geométrica de Minkowski, sin la cuál cualquier generalización era imposible.

La teoría especial de la relatividad es "especial" o "restringida", pues deja por fuera la gravedad. Cuando Einstein intenta desarrollar una teoría sobre el campo gravitacional que sea coherente con la relatividad especial descubre el principio de equivalencia fuerte, al  que el mismo llamaría su idea más feliz de todas, y rápidamente llega a la conclusión que la gravedad es una manifestación de que el espacio-tiempo no es plano, sino que tiene curvatura (geometría).

Esas ideas tan abstractas de los matemáticos puros de espacios geométricos de muchas dimensiones  y curvos cuyo desarrollo inició el gran matemático Bernhard Riemann de repente son lo necesario para resolver los problemas de la física, en este caso para desarrollar la teoría general de la relatividad la que es probablemente una de las teorías más hermosas de toda la física, en mi opinión.

 Comentarios finales

Ese vínculo tan estrecho que existe entre las matemáticas y las ciencias es algo verdaderamente asombroso; cualquier persona que desee desarrollar una carrera en ciencias o tecnología hace muy bien en dedicar tiempo a aprender y apreciar las matemáticas cuya elegancia no dejará nunca de impresionarnos aunque a veces tengamos que hacer nuestras las palabras que le escribió Albert Einstein al matemático italiano Tullio Levi-Civita: (Hentschel, Ann (1998), traducción propia) “Admiro la elegancia de su método de cálculo; debe ser estupendo cabalgar esos campos sobre el caballo de las auténticas matemáticas mientras nosotros tenemos que hacer nuestro laborioso trabajo penosamente a pie”.p 363

Referencias

Schilpp, P. A. (c2000). Albert Einstein : philosopher-scientist. Open Court.

Hentschel, Ann (1998). The Collected Papers of Albert Einstein, Vol.8 (English):The Berlin Years: Correspondece, 1914-1918. Princenton University Press: https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/391